3.275 \(\int (c \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m (A+B \sec (e+f x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=197 \[ -\frac{(A-B) \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m (c \sec (e+f x))^n F_1\left (n;\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}}-\frac{B \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m (c \sec (e+f x))^n F_1\left (n;\frac{1}{2},-m-\frac{1}{2};n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}} \]

[Out]

-((B*AppellF1[n, 1/2, -1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/
2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])) - ((A - B)*AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m,
1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*T
an[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.360822, antiderivative size = 197, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.121, Rules used = {4023, 3828, 3827, 133} \[ -\frac{(A-B) \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m (c \sec (e+f x))^n F_1\left (n;\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}}-\frac{B \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac{1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m (c \sec (e+f x))^n F_1\left (n;\frac{1}{2},-m-\frac{1}{2};n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Sec[e + f*x]),x]

[Out]

-((B*AppellF1[n, 1/2, -1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/
2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])) - ((A - B)*AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m,
1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*T
an[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])

Rule 4023

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
(B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] + Dist[B
/b, Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A
*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3828

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^In
tPart[m]*(a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m])/(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^FracPart[m], Int[(1 + (b*Csc[e + f*x])/a)^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rule 3827

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
d*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((d*x)^(n - 1)*(a + b*x)^(m -
1/2))/Sqrt[a - b*x], x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int (c \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m (A+B \sec (e+f x)) \, dx &=(A-B) \int (c \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx+\frac{B \int (c \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^{1+m} \, dx}{a}\\ &=\left ((A-B) (1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int (c \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^m \, dx+\left (B (1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int (c \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^{1+m} \, dx\\ &=-\frac{\left ((A-B) c (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(c x)^{-1+n} (1+x)^{-\frac{1}{2}+m}}{\sqrt{1-x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)}}-\frac{\left (B c (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(c x)^{-1+n} (1+x)^{\frac{1}{2}+m}}{\sqrt{1-x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{B F_1\left (n;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}-m;1+n;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (c \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}}-\frac{(A-B) F_1\left (n;\frac{1}{2},\frac{1}{2}-m;1+n;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (c \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac{1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 22.4053, size = 4897, normalized size = 24.86 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Sec[e + f*x]),x]

[Out]

(2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Sec[e + f*x]^(-1 - n)*(c*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(
m + n)*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^m*(A + B*Sec[e + f*x])*(A*Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^m + B*Sec[e + f*x]^(
1 + n)*(1 + Sec[e + f*x])^m)*Tan[(e + f*x)/2]*((-3*A*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2,
1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (B*AppellF1[1/2, 1 + m
+ n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)/3)
))/(f*(B + A*Cos[e + f*x])*(1 + Sec[e + f*x])^m*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(-((2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(
1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-3*A*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (
B*AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*
Tan[(e + f*x)/2]^2)/3)))/(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2) + (2^m*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*
Sec[e + f*x])^(m + n)*((-3*A*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e +
f*x])/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2
, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (B*AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2
, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)/3)))/(-1 + Tan[(e + f*x)/2
]^2) + (2^(1 + m)*n*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-3*A
*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/(3*AppellF1[1/2, m +
n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (B*AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^
2])/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m +
n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)/3)))/(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2) + (2^(1 + m)*(Sec[(e +
f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*((3*A*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sin[e + f*x])/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
+ (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)
- (3*A*Cos[e + f*x]*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(
e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) -
(B*((n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e
+ f*x)/2])/3 + ((1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e
+ f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
+ (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[
3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)/3) + (3*A*AppellF1[1/2,
m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2
- n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1
+ m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan
[(e + f*x)/2]^2*((-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, m + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^
2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(m + n)*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (m + n)*((-3*(1 - n)*AppellF1[5/2, 1 + m + n,
2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1 + m + n)*
AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)
/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1
[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (B*AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*((n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2
, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (2*Tan[(e + f*x)/2]^2*(n*((-3*(1 - n)*AppellF1
[5/2, 1 + m + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 +
(3*(1 + m + n)*AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]
^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (1 + m + n)*((3*n*AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(2 + m + n)*AppellF1[5/2, 3 + m + n, -n, 7/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5)))/3))/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])
*Tan[(e + f*x)/2]^2)/3)^2))/(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2) + (2^(1 + m)*(m + n)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*
x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*((-3*A*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x])/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]
^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1
[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (B*AppellF1[1/2,
1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])/(AppellF1[1/2, 1 + m + n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(n*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]
^2] + (1 + m + n)*AppellF1[3/2, 2 + m + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]
^2)/3))*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(-
1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 1.236, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( c\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( a+a\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m} \left ( A+B\sec \left ( fx+e \right ) \right ) \, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m*(A+B*sec(f*x+e)),x)

[Out]

int((c*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m*(A+B*sec(f*x+e)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (B \sec \left (f x + e\right ) + A\right )}{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (c \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m*(A+B*sec(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*sec(f*x + e) + A)*(a*sec(f*x + e) + a)^m*(c*sec(f*x + e))^n, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left ({\left (B \sec \left (f x + e\right ) + A\right )}{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (c \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m*(A+B*sec(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*sec(f*x + e) + A)*(a*sec(f*x + e) + a)^m*(c*sec(f*x + e))^n, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*sec(f*x+e))**n*(a+a*sec(f*x+e))**m*(A+B*sec(f*x+e)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (B \sec \left (f x + e\right ) + A\right )}{\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (c \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m*(A+B*sec(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*sec(f*x + e) + A)*(a*sec(f*x + e) + a)^m*(c*sec(f*x + e))^n, x)